Question

已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交于BC于 D點，在AD上任取一點P，（A點除外），過P點作EF∥AB，分別交AC、BC于點E、F，作PM∥AC，交AB于點M，連結ME。
（1）求證：四邊形AEPM為菱形；
（2）當P點在何處時，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半。

Answer 1

（1）見解析（2）P為EF中點時解析:
（1）證明：∵EF∥AB. PM∥AC。
∴AEPM為平行四邊形。
∵AB=AC.AD平分∠CAB.
∴∠CAD=∠BAD.AD⊥BC.
又∵∠BAD=∠EPA.
∴∠CAD=∠EPA.∴EA=EP.
∴AEPM為菱形。
（2）解：當P為EF中點時。S_菱形AEPM=S_{四邊形EFBM.}
∵四邊形AEPM為菱形。
∴AD⊥EM.
又∵AD⊥BC.
∴EM∥BC
又∵EF∥AB.
∴四邊形EFBM為平行四邊形。
作EN⊥AB于點N。
               ∴S_菱形AEPM=EP×EN=EF×EN=S _EMBF.
（1）先證明AEPM為平行四邊形，再證得EA=EP最后得出結論
（2）設P為EF中點，進行求證