Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，在BC邊上有兩動點D、E，滿足2∠DAE=∠BAC，將△AEC繞A旋轉(zhuǎn)，使得AC與AB重合，點E落到點E’．

（1）求證：∠DAE’=∠DAE；

（2）當(dāng)∠BE’D=20°時，求∠DEA的度數(shù)；

（3）當(dāng)BD=1，EC=2，△BE’D又為直角三角形時，求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠DEA=80°；（3）∠BAC=90°或120°

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和角的和差即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)∠DEA的度數(shù)為x．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE’=AE，∠BAE’=∠CAE，∠AE’B=∠AEC，進而得出∠DAE’=∠DAE．用SAS證明△ADE’≌△ADE，得到∠DE’A=∠DEA=x°，進而得到∠AEC=（x+20）°．根據(jù)平角的性質(zhì)得到x的值，即可得出結(jié)論；

（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及一個三角形中大邊對大角得到∠BE’D不可能是直角．然后分兩種情況討論：①若∠E’BD是直角；②若∠E’DB是直角．

（1）∵將△AEC旋轉(zhuǎn)得到△AE’B，

∴∠E’AB=∠EAC，

∴∠E’AD=∠EAC+∠BAD．

又∵2∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE’=∠DAE；

（2）設(shè)∠DEA的度數(shù)為x．

∵△AEC旋轉(zhuǎn)得到△AE’B，

∴AE’=AE，∠BAE’=∠CAE，∠AE’B=∠AEC．

∵2∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE’=∠DAE．

又∵AD=AD，

∴△ADE’≌△ADE，

∴∠DE’A=∠DEA=x°．

又∵∠AE’B=∠AEC，∠BE’D=20°，

∴∠AEC=（x+20）°．

又∵∠AEC+∠AED=180°，

∴x+（x+20）=180，

∴x=∠DEA=∠DE’A=80°；

（3）∵△AEC旋轉(zhuǎn)得到△AE’B，

∴BE’=EC．

又∵BD=1，BE’=2，

∴∠BE’D不可能是直角．

①若∠E’BD是直角．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C．

∵△AEC旋轉(zhuǎn)得到△AE’B，

∴∠ABE’=∠C．

∵∠E’BD是直角，

∴∠ABC=∠ABE’=45°，

∴∠BAC=90°．

②當(dāng)∠E’DB是直角時，設(shè)AB與DE’相交于P，過P作PF垂直BE’于F．

∵∠ABC=∠ABE’，

∴PD=PF．

在Rt△BDP和Rt△BFP中，

∵BP=BP，PD=PF，

∴Rt△BDP≌Rt△BFP，

∴BD=BF．

又∵BD=1，BE’=2，

∴BF=FE’=1．

又∵PF垂直BE’于F，

∴PE’=BP，

∴∠PE’B=∠PBF．

又∵∠ABC=∠ABE’，∠E’DB是直角，

∴∠ABC=∠E’BA=∠PE’B=30°，

∴∠BAC=120°．

綜上所述：∠BAC=90°或120°．