Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是矩形，且MO=MD=4，MC=3．

（1）求直線BM的解析式；

（2）求過A、M、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PMB構(gòu)成以BM為直角邊的直角三角形？若沒有，請(qǐng)說明理由；若有，則求出一個(gè)符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+4．（2）y=-x2-x+4；（3）見解析（-）（-）．

【解析】

（1）根據(jù)MO=MD=4，MC=3就可以求出A、M、B三點(diǎn)的作坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線BM的解析式與拋物線的解析式．

（2）根據(jù)（1）中A、M、B三點(diǎn)的作坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．

（3）過M、B作MB的垂線，它與拋物線的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，因而符合條件的P點(diǎn)是存在的．當(dāng)∠PMB=90°時(shí)，過P作PH⊥DC交于H，則可證△MPH∽△BMC，得到PH：HM=CM：CB=3：4，因而可以設(shè)HM=4a（a＞0），則PH=3a，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4a，4-3a）．將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x2-+4就可以求出a的值，進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）∵MO=MD=4，MC=3，

∴M、A、B的坐標(biāo)分別為（0，4），（-4，0），（3，0）

設(shè)BM的解析式為y=kx+b；

則，解得：

∴BM的解析式為y=x+4．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-3）

將M（0，4）的坐標(biāo)代入得a=-

∴y=-（x+4）（x-3）=-x2-x+4

（3）設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P，使△PMB構(gòu)成直角三角形．

①過M作MB的垂線與拋物線交于P，過P作PH⊥DC交于H，

∴∠PMB=90°，

∴∠PMH=∠MBC，

∴△MPH∽△BMC，

∴PH：HM=CM：CB=3：4

設(shè)HM=4a（a＞0），則PH=3a

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4a，4-3a）

將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x2-x+4得：

4-3a=-（-4a）2-×（-4a）+4

解得a=0（舍出），a=，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，）

②或者，拋物線上存在點(diǎn)P，使△PMB構(gòu)成直角三角形．

過M作MB的垂線與拋物線交于P，設(shè)P的坐標(biāo)為（x0，y0），

由∠PMB=90°，∠PMD=∠MBC，

過P作PH⊥DC交于H，則MH=-x0，PH=4-y0

∴由tan∠PMD=tan∠MBC

得=，

∴=+4

∴+4=--+4

∴，=0（舍去）

∴=（）+4=，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）

類似的，如果過B作BM的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，

設(shè)P的坐標(biāo)為（x0，y0），

同樣可求得=-，

由-=--+4

∴，=3（舍去）

=（）-=-

這時(shí)P的坐標(biāo)為（，-）．