Question

已知如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位的速度向點A勻速運動；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點A時停止運動，點Q也隨之停止．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=2時，AP=

 

，點Q到AC的距離是

 

；
（2）在運動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）
（3）在點E運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=2時，CP=2，則AP=1，根據(jù)勾股定理求得BC，再由三角形相似得出點Q到AC的距離；
（2）作QF⊥AC于點F，則△AQF∽△ABC，得出

QF

BC

=

AQ

AB

，又AQ=CP=t，則AP=3-t，則得出S與t的函數(shù)關(guān)系式S=-

2

5

t²+

6

5

t；
（3）能．①當(dāng)DE∥QB時，則四邊形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，得

AQ

AC

=

AP

AB

，即求得t，
②當(dāng)PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形，由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，解得t．

解答：解：（1）∵t=2，∴CP=2，
∵AC=3，∴AP=1，
∵∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=4，
設(shè)點Q到AC的距離是h，
∴

h

4

=

2

5

，
∴h=

8

5

．（2分）
故答案為1；

8

5

；

（2）如圖1，作QF⊥AC于點F．
∴△AQF∽△ABC，
∴

QF

BC

=

AQ

AB

，（3分）
又AQ=CP=t，∴AP=3-t，BC=

52-32

=4，
∴

QF

4

=

t

5

，
∴QF=

4

5

t，
∴S=

1

2

（3-t）•

4

5

t，
即S=-

2

5

t²+

6

5

t；（4分）

（3）能．
①如圖2，當(dāng)DE∥QB時．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形，
此時∠AQP=90°．（5分）
由△APQ∽△ABC，得

AQ

AC

=

AP

AB

，
∴

t

3

=

3-t

5

，
解得t=

9

8

；（6分）
②如圖3，當(dāng)PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠APQ=90°．（7分）
由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

5

=

3-t

3

．
解得t=

15

8

．（8分）
綜上，可知當(dāng)t=

9

8

或

15

8

時，四邊形QBED能成為直角梯形．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，是中考壓軸題，難度不大．