Question

【題目】 在學習了全等三角形和等邊三角形的知識后，張老師出了如下一道題：如圖，點B是線段AC上任意一點，分別以AB、BC為邊在AC同一側作等邊△ABD和等邊△BCE，連接CD、AE分別與BE和DB交于點N、M，連接MN．

(1)求證：△ABE≌△DBC．

接著張老師又讓學生分小組進行探究：你還能得出什么結論？

精英小組探究的結論是：AM=DN．

奮斗小組探究的結論是：△EMB≌△CNB．

創(chuàng)新小組探究的結論是：MN∥AC．

（2）你認為哪一小組探究的結論是正確的？

（3）選擇其中你認為正確的一種情形加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）三個小組探究的結論都正確；（3）證明見解析

【解析】試題分析：

（1）由△ABD和△BCE都是等邊三角形可得：AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠EBC=60°，這樣可得∠ABE=∠DBC，從而可由“SAS”證得△ABE≌△DBC；

（2）由△ABE≌△DBC可得∠EAB=∠CDB，而由已知條件易證∠DBN=∠ABD=60°，結合AB=DB可證△ABM≌△DBN，就可得AM=DN；同理可證△EBM≌△CBN；由△EBM≌△CBN可得BM=BN，結合∠DBN=60°可得△BMN是等邊三角形，從而可得∠MNB=60°=∠EBC，由此可得MN∥AC；故三個小組的探究結論都是正確的；

（3）根據（2）中的分析選擇第一個結論證明即可；

試題解析：

（1∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，

∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠ABE=∠DBC=120°，

∵在△ABE和△DBC中，AB=DB，∠ABE=∠DBC，BE=BC，

∴△ABE≌△DBC；

（2）三個小組探究的結論都正確；

（3）選擇證明：AM=DN，過程如下：

∵△ABE≌△DBC，

∴∠EAB=∠CDB，

∵∠ABD+∠DBE+∠EBC=180°，∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠DBE=∠ABD=60°，

∵在△ABM和△DBN中，∠MAB=∠NDB，AB=DB，∠DBN=∠ABM，

∴△ABM≌△DBN，

∴AM=DN.