如圖所示,過(guò)點(diǎn)F(0,1)的直線y=kx+b與拋物線y=x2交于M(x1,y1)和N(x2,y2)兩點(diǎn)(其中x1<0,x2<0).
(1)求b的值.
(2)求x1·x2的值
(3)分別過(guò)M、N作直線l:y=-1的垂線,垂足分別是M1、N1,判斷△M1FN1的形狀,并證明你的結(jié)論.
(4)對(duì)于過(guò)點(diǎn)F的任意直線MN,是否存在一條定直線m,使m與以MN為直徑的圓相切.如果有,請(qǐng)求出這條直線m的解析式;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)把點(diǎn)F(0,1)坐標(biāo)代入y=kx+b中得b=1. (3分) (2)由y=x2和y=kx+1得x2-kx-1=0化簡(jiǎn)得 x1=2k-2,x2=2k+2,x1·x2=-4 (6分) (3)△M1FN1是直角三角形(F點(diǎn)是直角頂點(diǎn)).理由如下:設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)是F1 FM12=FF12+M1F12=x12+4,F(xiàn)N12=FF12+F1N12=x22+4 M1N12=(x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8 ∴FM12+FN12=M1N12∴△M1FN1是以F點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形. (10分) (4)符合條件的定直線m即為直線l:y=-1. 過(guò)M作MH⊥NN1于H,MN2=MH2+NH2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+[(kx1+1)-(kx2+1)]2=(x1-x2)2+k2(x1-x2)2=(k2+1)(x1-x2)2=(k2+1)(4)2=16(k2+1)2 ∴MN=4(k2+1) 分別取MN和M1N1的中點(diǎn)P,P1, PP1=(MM1+NN1)=(y1+1+y2+1)=(y1+y2)+1=k(x1+x1)+2=2k2+2=2(k2+1) ∴PP1=MN 即線段MN的中點(diǎn)到直線l的距離等于MN長(zhǎng)度的一半. ∴以MN為直徑的圓與l相切.(15分) |
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