Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AE平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)E做直線l∥BC．

（1）判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F，求證：BE=EF；
（3）在（2）的條件下，若DE=4，DF=3，求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線l與⊙O相切．

理由：如圖1所示：連接OE、OB、OC．

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE．

∴ ．

∴∠BOE=∠COE．

又∵OB=OC，

∴OE⊥BC．

∵l∥BC，

∴OE⊥l．

∴直線l與⊙O相切．

（2）解：∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF．

又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，

∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．

又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，

∴∠EBF=∠EFB．

∴BE=EF．

（3）解：由（2）得BE=EF=DE+DF=7．

∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，

∴△BED∽△AEB．

∴ ，即 ，解得；AE= ．

∴AF=AE﹣EF= ﹣7=

【解析】（1）由AE平分∠BAC，得到∠BAE=∠CAE，弧BE=弧CE，得到∠BOE=∠COE，又OB=OC，得到OE⊥BC因?yàn)閘∥BC，得到OE⊥l，所以直線l與⊙O相切；（2）由BF平分∠ABC，得到∠ABF=∠CBF，又∠CBE=∠CAE=∠BAE，得到∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF，又∠EFB=∠BAE+∠ABF，得到∠EBF=∠EFB．所以BE=EF；（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7，因?yàn)椤螪BE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，得到△BED∽△AEB，得出比例，求得AE=，所以AF=AE﹣EF=﹣7=.