Question

如圖：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點P以一定的速度沿AC邊由A向C運動，點Q以1cm/s速度沿CB邊由C向B運動，設P、Q同時運動，且當一點運動到終點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t（s）．
（1）若點P以

3

4

cm/s的速度運動，
①當PQ∥AB時，求t的值；
②在①的條件下，試判斷以PQ為直徑的圓與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若點P以1cm/s的速度運動，在整個運動過程中，以PQ為直徑的圓能否與直線AB相切？若能，請求出運動時間t；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①由PQ∥AB得CP：CA=CQ：CB列方程求t；
②作CE⊥AB，利用面積法分別求CE，CD，得DE=CE-CD，判斷PQ=2DE是否成立；
（2）如圖，利用相似比分別求PM、QN，O為PQ的中點，由梯形的中位線性質(zhì)求OH，判斷PQ與2OH的大小關(guān)系即可．

解答：解：（1）①如圖1，依題意，得AP=

3

4

t，CP=3-

3

4

t，CQ=t，BQ=4-t，
∵PQ∥AB，
∴CP：CA=CQ：CB，即（3-

3

4

t）：3=t：4，解得t=2，
②相交．
理由：作CE⊥AB，垂足為E，交PQ于D，當t=2時，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，則CE=

3×4

5

=2.4，
在Rt△PQC中，PC=1.5，CQ=2，由勾股定理得PQ=2.5，則CD=

1.5×2

2.5

=1.2，
∴DE=2.4-1.2=1.2，

1

2

PQ＞DE，
∴以PQ為直徑的圓與直線AB相交；

（2）在整個運動過程中，以PQ為直徑的圓能與直線AB相切．
如圖2，設PQ的中點為O，分別過P、O、Q三點作AB的垂線，垂足為M、H、N，則OH∥PM∥QN，故OH是梯形PQNM的中位線，
依題意，得AP=t，CP=3-t，CQ=t，BQ=4-t，PQ=

(3-t)2+t2

，
由△APM∽△ABC，得PM=

4

5

t，
由△QBN∽△ABC，得QN=

3

5

（4-t），∴OH=

1

2

（PM+QN）=

t+12

10

，
當

1

2

PQ=OH時，

1

2

(3-t)2+t2

=

t+12

10

，即49t²-174t+81=0，解得t=3或

27

49

．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件作平行線，垂線，構(gòu)造相似三角形求解．