Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），過點(diǎn)P作PD∥AC，交BC于點(diǎn)D，連接CP．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，BP2=BDBC；

（3）當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（，0）；（3）（1，0）

【解析】

試題分析：（1）由拋物線y=ax2+bx﹣4過點(diǎn)A（4，0）、B（﹣2，0）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（x，0）時(shí)，有BP2=BDBC，在中，令x=0時(shí)，則y=﹣4，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，由PD∥AC可得△BPD∽△BAC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

（3）由△BPD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0）兩點(diǎn)

∴，解得

∴拋物線的解析式為；

（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（x，0）時(shí)，有BP2=BDBC，

在中，令x=0時(shí)，則y=﹣4

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4）

∵PD∥AC

∴△BPD∽△BAC

∴

∵，AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2

∴，即

∵BP2=BDBC，

∴，解得x1=，x2=﹣2（不合題意，舍去）

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，0）

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（，0）時(shí)，BP2=BDBC；

（3）∵△BPD∽△BAC，

∴

∴，

又∵，

∴

∵＜0，∴當(dāng)x=1時(shí)，S△BPC有最大值為3

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，△PDC的面積最大。