Question

已知：y關(guān)于x的函數(shù)y＝(k－1)x²－2kx＋k＋2的圖象與x軸有交點．

(1)求k的取值范圍；

(2)若x₁，x₂是函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標，且滿足(k－1)x₁²＋2kx₂＋k＋2＝4x₁x₂．

①求k的值；②當k≤x≤k＋2時，請結(jié)合函數(shù)圖象確定y的最大值和最大值．

Answer 1

解：(1)當k＝1時，函數(shù)為一次函數(shù)y＝－2x＋3，其圖象與x軸有一個交點．

當k≠1時，函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象與x軸有一個或兩個交點，

令y＝0得(k－1)x²－2kx＋k＋2＝0．

△＝(－2k)²－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k＝1．

綜上所述，k的取值范圍是k≤2．

(2)①∵x₁≠x₂，由(1)知k＜2且k＝1．

由題意得(k－1)x₁²＋(k＋2)＝2kx₁．

將(*)代入(k－1)x₁²＋2kx₂＋k＋2＝4x₁x₂中得：

2k(x₁＋x₂)＝4x₁x₂．

又∵x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

∴2k·＝4·．

解得：k₁＝－1，k₂＝2(不合題意，舍去)．

∴所求k值為－1．

②如圖5，∵k₁＝－1，y＝－2x²＋2x＋1＝－2(x－)²＋．

且－1≤x≤1．

由圖象知：當x＝－1時，y_最小＝－3；當x＝時，y_最大＝．

∴y的最大值為，最小值為－3．