在平面直角坐標(biāo)xOy中,(如圖)正方形OABC的邊長(zhǎng)為4,邊OA在x軸的正半軸上,邊OC在y軸的正半軸上,點(diǎn)D是OC的中點(diǎn),BE⊥DB交x軸于點(diǎn)E.
⑴求經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、B、E的拋物線的解析式;
⑵將∠DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度后,邊BE交線段OA于點(diǎn)F,邊BD交y軸于點(diǎn)G,交⑴中的拋
物線于M(不與點(diǎn)B重合),如果點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,那么結(jié)論OF=DG能成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
⑶過(guò)⑵中的點(diǎn)F的直線交射線CB于點(diǎn)P,交⑴中的拋物線在第一象限的部分于點(diǎn)Q,且使△PFE為等腰三角形,求Q點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)∵BE⊥DB交x軸于點(diǎn)E,OABC是正方形,∴∠DBC=EBA。
在△BCD與△BAE中,∵∠BCD=∠BAE=90°, BC=BA ,∠DBC=∠EBA ,
∴△BCD≌△BAE(ASA)!郃E=CD。
∵OABC是正方形,OA=4,D是OC的中點(diǎn),
∴A(4,0),B(4,4),C(0,4),D(0,2),∴E(6,0).
設(shè)過(guò)點(diǎn)D(0,2),B(4,4),E(6,0)的拋物線解析式為y=ax2+bx+c,則有:
,解得 。
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、B、E的拋物線的解析式為:。
(2)結(jié)論OF=DG能成立.理由如下:
由題意,當(dāng)∠DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度后,同理可證得△BCG≌△BAF,∴AF=CG。
∵xM=,∴!郙()。
設(shè)直線MB的解析式為yMB=kx+b,
∵M(jìn)(),B(4,4),
∴,解得。
∴yMB=x+6。∴G(0,6)。
∴CG=2,DG=4!郃F=CG=2,OF=OA﹣AF=2,F(xiàn)(2,0)。
∵OF=2,DG=4,∴結(jié)論OF=DG成立。
(3)如圖,△PFE為等腰三角形,可能有三種情況,分類討論如下:
①若PF=FE。
∵FE=4,BC與OA平行線之間距離為4,
∴此時(shí)P點(diǎn)位于射線CB上。
∵F(2,0),∴P(2,4)。
此時(shí)直線FP⊥x軸。來(lái)]∴xQ=2。
∴,
∴Q1(2,)。
②若PF=PE。
如圖所示,∵AF=AE=2,BA⊥FE,∴△BEF為等腰三角形。
∴此時(shí)點(diǎn)P、Q與點(diǎn)B重合!郠2(4,4)。
③若PE=EF。
∵FE=4,BC與OA平行線之間距離為4,∴此時(shí)P點(diǎn)位于射線CB上。
∵E(6,0),∴P(6,4)。
設(shè)直線yPF的解析式為yPF=kx+b,∵F(2,0),P(6,4),
∴,解得。∴yPF=x﹣2。
∵Q點(diǎn)既在直線PF上,也在拋物線上,
∴,化簡(jiǎn)得5x2﹣14x﹣48=0,
解得x1= ,x2=﹣2(不合題意,舍去)!鄕Q=2。
∴yQ=xQ﹣2=!郠3()。
綜上所述,Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q1(2,)或Q2(4,4)或Q3()。
【解析】(1)由正方形的性質(zhì)和△BCD≌△BAE求得E點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式。
(2)求出M點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求直線MB的解析式,令x=0,求得G點(diǎn)坐標(biāo),從而得到線段CG、DG的長(zhǎng)度;由△BCG≌△BAF,可得AF=CG,從而求得OF的長(zhǎng)度.比較OF與DG的長(zhǎng)度,它們滿足OF=DG的關(guān)系,所以結(jié)論成立;
(3)分PF=FE、PF=PE和PE=EF三種情況,逐一討論并求解。
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