Question

已知拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的頂點P的坐標是，與y軸的交點是M（0，c）．我們稱以M為頂點，對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PM為L的伴隨直線．
（1）請直接寫出拋物線y=2x²-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：
伴隨拋物線的解析式 ______，伴隨直線的解析式 ______；
（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x²-3和y=-x-3，則這條拋物線的解析式是 ______；
（3）求拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式；
（4）若拋物線L與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，x₂＞x₁＞0，它的伴隨拋物線與x軸交于C、D兩點，且AB=CD．請求出a、b、c應滿足的條件．

Answer 1

解：（1）y=-2x²+1，y=-2x+1；
（2）y=x²-2x-3；
（3）∵伴隨拋物線的頂點是（0，c），
∵設它的解析式為y=m（x-0）²+c（m≠0），
∵此拋物線過P（-，），
∴=m•（-）²+c，
解得m=-a，
∴伴隨拋物線解析式為y=-ax²+c；
設伴隨直線解析式為y=kx+c（k≠0），
P（-，）在此直線上，
∴，
∴k=，
∴伴隨直線解析式為y=x+c；
（4）∵拋物線L與x軸有兩交點，
∴△₁=b²-4ac＞0，
∴b²＞4ac；
∵x₂＞x₁＞0，
∴x₂+x₁=-＞0，x₁•x₂=＞0，
∴ab＜0，ac＞0．
對于伴隨拋物線有y=-ax²+c，有△₂=0-（-4ac）=4ac＞0，由-ax²+c=0，得x=±．
∴C（-，0），D（，0），CD=2，
又AB=x₂-x₁====，
∵AB=CD，則有：2=，即b²=8ac，
綜合b²=8ac，b²-4ac＞0，ab＜0，ac＞0
可得a、b、c需滿足的條件為：
b²=8ac且ab＜0（或b²=8ac且bc＜0）．
分析：（1）先根據拋物線的解析式求出其頂點P和拋物線與y軸的交點M的坐標．然后根據M的坐標用頂點式二次函數通式設伴隨拋物線的解析式然后將P點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出伴隨拋物線的解析式．根據M，P兩點的坐標即可求出直線PM的解析式；
（2）由題意可知：伴隨拋物線的頂點坐標是拋物線與y軸交點坐標，伴隨拋物線與伴隨直線的交點（與y軸交點除外）是拋物線的頂點，據此可求出拋物線的解析式；
（3）方法同（1）；
（4）本題要考慮的a、b、c滿足的條件有：
拋物線和伴隨拋物線都與x軸有兩個交點，因此△＞0，①
由于拋物線L中，x₂＞x₁＞0，因此拋物線的對稱軸x＞0，兩根的積大于0．②
根據兩拋物線的解析式分別求出AB、CD的長，根據AB=CD可得出另一個需滿足的條件…③綜合這三種情況即可得出所求的a、b、c需滿足的條件．
點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系以及一元二次方程根與系數的關系．