Question

2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE是中線，CG平分∠ACB交BE于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，且∠ACF=∠CBG．
（1）求證：CF=BG；
（2）延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H，判斷點(diǎn)G是否在線段AB的垂直平分線上？并說(shuō)明理由．
（3）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，請(qǐng)證明：CF=2DE．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠BCG=∠CAB=45°，由ASA證明△ACF≌△BCG，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可．                         
（2）由等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）連接AG．證出CH∥AD，得出∠D=∠EGC，由SAS證明△AED≌△CEG，得出DE=EG，即可得出即可．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠BCG=45°=∠A，
∴∠BCG=∠CAB=45°，
在△ACF和△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BCG}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠ACF=∠CBG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCG（ASA），
∴AF=CG，CF=BG．                         
（2）解：點(diǎn)G在線段AB的垂直平分線上，如圖1所示：理由如下：
∵AC=BC，CG平分∠ACB，
∴CH⊥AB，H為AB中點(diǎn)，
∴點(diǎn)G在線段AB的垂直平分線上；
（3）證明：連接AG．如圖2所示：
由（2）可知，AG=BG，∠GAB=∠GBA，
∵AD⊥AB，
∴∠GAB+∠GAD=∠GBA+∠D=90°，
∴∠GAD=∠D，
∴GA=GD=GB=CF．                                 
∵AD⊥AB，CH⊥AB
∴CH∥AD，
∴∠D=∠EGC，
∵E為AC中點(diǎn)，
∴AE=EC，
在△AED和△CEG中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=EG}&{\;}\\{∠AED=∠CEG}&{\;}\\{AE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CEG（SAS），
∴DE=EG，
∴DG=2DE，
∴CF=2DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．