Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，平行于x軸的直線與拋物線L：y＝ax2相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在第一象限），點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上．

（1）已知a＝1，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2．

①如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過(guò)點(diǎn)B，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，求AC的長(zhǎng)．

②如圖2，若BD＝AB，過(guò)點(diǎn)B，D的拋物線L2，其頂點(diǎn)M在x軸上，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）如圖3，若BD＝AB，過(guò)O，B，D三點(diǎn)的拋物線L3，頂點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a3，過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸，交拋物線L于E，F兩點(diǎn)，求的值，并直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）①AC＝4；②y＝4（x﹣）2；（2）＝﹣，＝．

【解析】

（1）①根據(jù)函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出AC的長(zhǎng)；②作拋物線L2的對(duì)稱軸與AD相交于點(diǎn)N，根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性求出OM，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K，設(shè)OK=t，得到OG=4t，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)B（t，at2），求出的值，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出的值．

解：（1）①二次函數(shù)y＝x2，當(dāng)y＝2時(shí)，2＝x2，

解得x1＝，x2＝，

∴AB＝，

∵平移得到的拋物線L1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

∴BC＝AB＝，

∴AC＝；

②作拋物線L2的對(duì)稱軸與AD相交于點(diǎn)N，如圖2，

根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，得BN＝DB＝，

∴OM＝．

設(shè)拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣）2，

由①得，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2），

∴2＝a（）2，

解得a＝4．

拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y＝4（x﹣）2；

（2）如圖3，拋物線L3與x軸交于點(diǎn)G，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，

過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K，

設(shè)OK＝t，則AB＝BD＝2t，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，at2），

根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，得OQ＝2t，OG＝2OQ＝4t．

設(shè)拋物線L3的函數(shù)表達(dá)式為y＝a3x（x﹣4t），

∵該拋物線過(guò)點(diǎn)B（t，at2），

∴at2＝a3t（t﹣4t），

∵t≠0，

∴＝﹣，

由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t，﹣4a3t2），

則﹣4a3t2＝ax2，

解得，x1＝﹣t，x2＝t，

EF＝t，

∴＝．