Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含B、C兩點(diǎn)），將△ABP沿直線(xiàn)AP翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處；在CD上有一點(diǎn)M，使得將△CMP沿直線(xiàn)MP翻折后，點(diǎn)C落在直線(xiàn)PE上的點(diǎn)F處，直線(xiàn)PE交CD于點(diǎn)N，連接MA，NA．則以下結(jié)論中正確的有（ ）

①△CMP∽△BPA；

②四邊形AMCB的面積最大值為10；

③當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，AE為線(xiàn)段NP的中垂線(xiàn)；

④線(xiàn)段AM的最小值為2；

⑤當(dāng)△ABP≌△ADN時(shí)，BP= 4-4．

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 4個(gè)D. 3個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)逐個(gè)分析即可. 證AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，得△CMP∽△BPA，故①正確；當(dāng)x=2時(shí)，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確；NE≠EP，故③錯(cuò)誤；AM的最小值==5，故④錯(cuò)誤；PB=故⑤正確．

∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∵∠CPN+∠NPB=180°，∴2∠NPM+2∠APE=180°，∴∠MPN+∠APE=90°，∴∠APM=90°，∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPM=∠PAB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，∴△CMP∽△BPA．故①正確，設(shè)PB=x，則CP=4﹣x，∵△CMP∽△BPA，∴，∴CM=x（4﹣x），∴S四邊形AMCB=[4+x（4﹣x）]×4==，∴x=2時(shí)，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確，當(dāng)PB=PC=PE=2時(shí)，設(shè)ND=NE=y，在Rt△PCN中，解得，∴NE≠EP，故③錯(cuò)誤，作MG⊥AB于G，∵AM==，∴AG最小時(shí)AM最小，∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣x（4﹣x）=，∴x=1時(shí)，AG最小值=3，∴AM的最小值==5，故④錯(cuò)誤．∵△ABP≌△ADN時(shí)，∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK，設(shè)PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5°．∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，∴PB=BK=z，AK=PK=z，∴z+z=4，∴z=，∴PB=故⑤正確．

故選：C．