【題目】如圖(1),E是直線AB、CD內(nèi)部一點(diǎn),AB∥CD,連接EA、ED.

(1)探究:

①若∠A=30°,∠D=40°,則∠AED等于多少度?

②若∠A=20°,∠D=60°,則∠AED等于多少度?

③在圖(1)中∠AED、∠EAB、∠EDC有什么數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

(2)拓展:如圖(2),射線FE與矩形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E,與邊CD交于點(diǎn)F,①②③④分別是被射線FE隔開的四個區(qū)域(不含邊界,其中③④位于直線AB的上方),P是位于以上四個區(qū)域上點(diǎn),猜想:∠PEB、∠PFC、∠EPF之間的關(guān)系.(不要求證明)

【答案】1①∠AED=70°;

②∠AED=80°

猜想:AED=EAB+EDC,證明見解析;

(2)點(diǎn)P在區(qū)域①時,∠EPF=360°﹣(∠PEB+PFC);

點(diǎn)P在區(qū)域時,EPF=PEB+PFC;

點(diǎn)P在區(qū)域時,EPF=PEB﹣PFC;

點(diǎn)P在區(qū)域④時,∠EPF=PFC﹣∠PEB

【解析】(1)①根據(jù)圖形猜想得出所求角度數(shù)即可;
②根據(jù)圖形猜想得出所求角度數(shù)即可;
③猜想得到三角關(guān)系,理由為:延長AE與DC交于F點(diǎn),由AB與DC平行,利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等,再利用外角性質(zhì)及等量代換即可得證;
(2)分四個區(qū)域分別找出三個角關(guān)系即可.

解:(1)①∠AED=70°;

②∠AED=80°;

③猜想:∠AED=EAB+EDC,

證明:延長AEDC于點(diǎn)F,

ABDC

∴∠EAB=EFD,

∵∠AEDEDF的外角,

∴∠AED=EDF+EFD=EAB+EDC;

2)根據(jù)題意得:

點(diǎn)P在區(qū)域①時,∠EPF=360°﹣(∠PEB+PFC);

點(diǎn)P在區(qū)域②時,∠EPF=PEB+PFC;

點(diǎn)P在區(qū)域③時,∠EPF=PEB﹣∠PFC

點(diǎn)P在區(qū)域④時,∠EPF=PFC﹣∠PEB

“點(diǎn)睛”此題考查了平行線的性質(zhì),熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

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