【題目】 如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差,那么我們稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”,如8=32-12,16=52-32,24=72-52,因此,8,16,24這三個(gè)數(shù)都是“和諧數(shù)”.
(1)在32,75,80這三個(gè)數(shù)中,是和諧數(shù)的是______;
(2)若200為和諧數(shù),即200可以寫成兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差,則這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和為______;
(3)小鑫通過觀察發(fā)現(xiàn)以上求出的“和諧數(shù)”均為8的倍數(shù),設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n-1和2n+1(其中n取正整數(shù)),請你通過運(yùn)算驗(yàn)證“和諧數(shù)是8的倍數(shù)”這個(gè)結(jié)論是否正確.
【答案】(1)32,80;(2)100;(3)“和諧數(shù)是8的倍數(shù)”這個(gè)結(jié)論是正確的,證明詳見解析
【解析】
(1)根據(jù)“和諧數(shù)”的定義,設(shè)出一般的情況,看和諧數(shù)應(yīng)滿足什么條件,以此條件判斷32,75,80這三個(gè)數(shù)中,哪些數(shù)是和諧數(shù);
(2)用字母表示兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)與和諧數(shù),由和諧數(shù)是200,列出方程,解出即得到這兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù),從而可以求得這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和;
(3)用字母表示兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)與和諧數(shù),通過化簡,可以證明結(jié)論成立.
解:(1)由“和諧數(shù)”的定義,設(shè)這兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)分別為,,
則和諧數(shù)可表示為:,(其中表示正整數(shù))
∴“和諧數(shù)”就是8的正整數(shù)倍,
∴32,80是和諧數(shù),75不是和諧數(shù),且32=92-72,80=212-192,
故答案為:32;80.
(2)∵200,即200,
∴,
∴,,
∵49+51=100,
∴這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和為100,
故答案為:100.
(3)證明:∵,
∴“和諧數(shù)是8的倍數(shù)”這個(gè)結(jié)論是正確的.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明:DE=BD+CE.
(2) 如圖(2),將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3),D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)(D、A、E三點(diǎn)互不重合),點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn),且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,數(shù)軸上線段AB=2(單位長度),線段CD=4(單位長度),點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10,點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是16.若線段AB以每秒6個(gè)單位長度的速度向右勻速運(yùn)動,同時(shí)線段CD以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t s.
(1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C相遇時(shí),點(diǎn)A、點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為________;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)B剛好與線段CD的中點(diǎn)重合;
(3)當(dāng)運(yùn)動到BC=8(單位長度)時(shí),求出此時(shí)點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 在某次數(shù)學(xué)測試中,滿分為100分,各測試內(nèi)容及所占分值的分布情況如下扇形統(tǒng)計(jì)圖,則以下結(jié)論正確的是( )
①一元一次不等式(組)部分與二元一次方程組部分所占分值一樣
②因式分解部分在試卷上占10分
③整式的運(yùn)算部分在整張?jiān)嚲碇兴急壤秊?/span>25%
④觀察、猜想與證明部分的圓心角度數(shù)為72°
A.①②③B.②③④C.①④D.①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi):
,,,,,,(每兩個(gè) 之間依次增加 個(gè) ).
(1)正數(shù)集合:{ ┄};
(2)負(fù)數(shù)集合:{ ┄};
(3)整數(shù)集合:{ ┄};
(4)無理數(shù)集合:{ ┄}.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上有A,B,C三個(gè)點(diǎn),分別表示有理數(shù)﹣24,﹣10,10,動點(diǎn)P從A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動,設(shè)移動時(shí)間為t秒.
(1)用含t的代數(shù)式表示P到點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離:
PA=________,PC=________;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí),點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā),以每秒3個(gè)單位的速度向C點(diǎn)運(yùn)動,Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后,再立即以同樣的速度返回,運(yùn)動到終點(diǎn)A.在點(diǎn)Q開始運(yùn)動后,P,Q兩點(diǎn)之間的距離能否為2個(gè)單位?如果能,請求出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù);如果不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與A,B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形,如果其中有兩個(gè)三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”;如果這三個(gè)三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”.
【試題再現(xiàn)】如圖②,在△ABC中,∠ACB=90°,直角頂點(diǎn)C在直線DE上,分別過點(diǎn)A,B作AD⊥DE于點(diǎn)D,BE⊥DE于點(diǎn)E.求證:△ADC∽△CEB.
【問題探究】在圖①中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn),并說明理由.
【深入探究】如圖③,AD∥BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作AB⊥AD于點(diǎn)A,交BC于點(diǎn)B.
(1)請證明點(diǎn)P是四邊形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn).
(2)若AD=3,BC=5,試求AB的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,把一張長10厘米、寬6厘米的長方形紙板分成兩個(gè)相同的直角三角形.
(1)甲三角形(如圖2)旋轉(zhuǎn)一周,可以形成一個(gè)怎樣的幾何體?它的體積是多少立方米?
(2)乙三角形(如圖3)旋轉(zhuǎn)一周,可以形成一個(gè)怎樣的幾何體?它的體積是多少立方米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn),∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)若∠1=35°,求∠DAC的度數(shù);
(2)若∠BAC=69°,求∠DAC的度數(shù).
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