Question

【題目】如圖，點(diǎn)E，F分別在矩形ABCD的邊AB，BC上，連接EF，將△BEF沿直線(xiàn)EF翻折得到△HEF，AB＝8，BC＝6，AE：EB＝3：1．

（1）如圖1，當(dāng)∠BEF＝45°時(shí)，EH的延長(zhǎng)線(xiàn)交DC于點(diǎn)M，求HM的長(zhǎng)；

（2）如圖2，當(dāng)FH的延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，求tan∠FEH的值；

（3）如圖3，連接AH，HC，當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究四邊形AHCD的面積是否存在最小值？若存在，求出四邊形AHCD的面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，四邊形的面積的最小值為.

【解析】

（1）當(dāng)∠BEF=45°時(shí)，易知四邊形EBFH是正方形，求出EM，EH的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．

（2）如圖2中，連接DE．利用勾股定理求出DE，DH，設(shè)BF=FH=x，在Rt△DFC中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．

（3）如圖3中，連接AC，作EM⊥AC于M．利用相似三角形的性質(zhì)求出EM，由S四邊形AHCD=S△ACH+S△ADC，S△ACD=×6×8=24，推出當(dāng)△ACH的面積最小時(shí)，四邊形AHCD的面積最小，可知當(dāng)EH與EM重合時(shí)，點(diǎn)H到直線(xiàn)AC的距離最小，由此即可解決問(wèn)題．

（1）如圖1中，

當(dāng)時(shí)，易知四邊形是正方形，

∵，，

，，

，

四邊形是矩形，

，

，

.

（2）如圖2中，連接.

在中，，，

，

在中，

設(shè)，則，，

在中，，

，

，

.

（3）如圖3中，連接，作于.

，，

，

，

，

，

，，

當(dāng)的面積最小時(shí)，四邊形的面積最小，

當(dāng)與重合時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小，最小值，

的面積的最小值，

四邊形的面積的最小值為.