Question

（2013•定海區(qū)模擬）如圖，已知Rt△ABC中，AC=b，BC=a，D₁是斜邊AB的中點(diǎn)，過D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連結(jié)BE₁交CD₁于D₂；過D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，連結(jié)BE₂交CD₁于D₃；過D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點(diǎn)D₄，D₅，…，D_n，分別記△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…S_n．則S_n為（　�。�

• A．

  ab

  2(n+1)2

• B．

  ab

  (n+1)2

• C．

  ab

  n2

• D．

  ab

  8n

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，利用在△ACB中，D₂為其重心可得D₂E₁=

1

3

BE₁，然后從中找出規(guī)律即可解答．

解答：解：∵D₁E₁⊥AC，BC⊥AC，
∴D₁E₁∥BC，
∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高，面積相等，以此類推；
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可知：D₁E₁=

1

2

BC，CE₁=

1

2

AC，S₁=

1

22

S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂為其重心，
∴D₂E₁=

1

3

BE₁，
∴D₂E₂=

1

3

BC，CE₂=

1

3

AC，S₂=

1

32

S_△ABC，
∵D₂E₂：D₁E₁=2：3，D₁E₁：BC=1：2，
∴BC：D₂E₂=2D₁E₁：

2

3

D₁E₁=3，
∴CD₃：CD₂=D₃E₃：D₂E₂=CE₃：CE₂=3：4，
∴D₃E₃=

3

4

D₂E₂=

3

4

×

1

3

BC=

1

4

BC，CE₃=

3

4

CE₂=

3

4

×

1

3

AC=

1

4

AC，S₃=

1

42

S_△ABC…；
∴S_n=

1

(n+1)2

S_△ABC=

1

(n+1)2

×

1

2

ab=

ab

2(n+1)2

．
故選A．

點(diǎn)評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形的重心等知識，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)得到第一個三角形的面積與原三角形的面積的規(guī)律．也考查了重心的性質(zhì)即三角形三邊中線的交點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)距離的兩倍．