Question

閱讀下列材料，按要求回答問題．
（1）觀察下面兩塊三角尺，它們有一個共同的性質(zhì)：∠A=2∠B，我們由此出發(fā)來進行思考．
在圖（1）中作斜邊上的高CD，由于∠B=30°，可知c=2b，∠ACD=30°，于是AD=，BD=c-，由于△CDB∽△ACB，可知，即a²=c•BD．同理b²=c•AD，于是a²-b²=c（BD-AD）=c（c-b）=bc．對于圖（2），由勾股定理有a²=b²+c²，由于b=c，故也有a²-b²=bc．
在△ABC中，如果一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為倍角三角形，兩塊三角尺都是特殊的倍角三角形，對于任意倍角三角形，上面的結(jié)論仍然成立嗎？我們暫時把設(shè)想作為一種猜測：
如圖（3），在△ABC中，若∠CAB=2∠ABC，則a²-b²=bc．
在上述由三角尺的性質(zhì)到“猜測”這一認識過程中，用到了下列四種數(shù)學(xué)思想方法中的哪一種選出一個正確的并將其序號填在括號內(nèi)
①分類的思想方法②轉(zhuǎn)化的思想方法③由特殊到一般的思想方法④數(shù)形結(jié)合的思想方法
（2）這個猜測是否正確，請證明．

Answer 1

解：（1）③正確．

（2）a²-b²=b•c仍正確
證明：延長CA到D，使AD=AB=c
∴∠BAC=∠D+∠ABD=2∠D
∵∠BAC=2∠ABC
∴∠D=∠ABC
∴△ABC∽△BDC
∴
∴a²=b²+bc，即a²-b²=bc
分析：依據(jù)圖（1）、圖（2）的解題思想和方法，要證a²-b²=bc，須三角形相似，由此延長CA到D，使AD=AB，連接BD，易得BC：DC=AC：BC，可求a²-b²=bc
點評：此題既考查相似三角形的判定、性質(zhì)，又考查輔助線的作法．