Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝90°．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，四邊形APQC的面積為ycm²．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形?
（2）①求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
②當(dāng)t為何值時(shí)，y取得最小值？最小值為多少？
（3）設(shè)PQ的長為xcm，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

（1）當(dāng)t＝或時(shí)，△PBQ是直角三角形；（2）①y＝8－（0≤t≤4），②當(dāng)t＝2時(shí)，y取得最小值，最小值是；（3）y．

試題分析：（1）分∠PQB＝90°和∠QPB＝90°兩種情況討論即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式列式y(tǒng)＝S_△ABC－S_△BPQ即得函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)最值原理即可得出y取得最小值時(shí)t的值和y的最小值；
（3）把t²－4 t＝代入y＝8－化簡即可.
試題解析：（1）當(dāng)t＝或時(shí)，△PBQ是直角三角形，理由如下：
∵BQ＝AP＝t， BP＝4－t，
∴①當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，由得： t ＝4－t，解得：t＝；
②當(dāng)∠QPB＝90°時(shí)，由得：，解得：t＝.
∴當(dāng)t＝或時(shí)，△PBQ是直角三角形.
（2）①過P作PH⊥BC，在Rt△PHB中，BP＝4－t，PH＝，
∴S_△BPQ＝，
∴y＝S_△ABC－S_△BPQ＝8－.
由題意可知：0≤t≤4.
②y＝8－＝，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，y取得最小值，最小值是．

（3）在Rt△PQH中，PH＝（4－t），HQ＝（4－t）－t，
由PQ²＝ PH²＋HQ²，則x²＝〔（4－t）〕²＋〔（4－t）－t〕²
化簡得：x²＝（2＋）t ²－4（2＋）t＋16，∴ t²－4 t＝.
將t²－4t＝代入y＝8－，得y＝8＋·．