Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（a，0），（b，0），且滿足現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD．

（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積；

（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)M，連接MA，MB，使S△MAB=S四邊形ABDC？若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；

（3）點(diǎn)P是射線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，D重合），連接PC，PA，求∠CPA與∠DCP、∠BAP之間的關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）C(0，2)，D(4，2)，S四邊形ABDC=8；（2）M(0，4)或(0，-4)；（3）∠CPA= ∠BAP+∠DCP或∠CPA= ∠BAP-∠DCP．

【解析】

（1）由題意根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出A、B坐標(biāo)，進(jìn)而分析得出C、D坐標(biāo)，繼而即可求出四邊形ABDC的面積；

（2）由題意可知以AB為底邊，設(shè)點(diǎn)M到AB的距離為h即三角形MAB的高，求得h的值即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意分當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)P在BD延長線上時(shí)，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行分析即可.

解: （1）由得a=-1，b=3，則A(-1，0)，B(3，0)，

∵點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)C，D，如圖，

∴C(0，2)，D(4，2)，

∴S四邊形ABDC=AB×OC=4×2=8.

（2）存在．設(shè)點(diǎn)M到AB的距離為h，S△MAB=×AB×h=2h，

由S△MAB=S四邊形ABDC，得2h=8，解得h=4，

可知這樣的M點(diǎn)在y軸上有兩個(gè)，

∴M(0，4)或(0，-4).

（3） ①當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)：∠CPA=∠DCP+∠BAP，理由如下：

過P點(diǎn)作PE∥AB交OC與E點(diǎn)，

∵AB∥CD， PE∥AB，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠DCP=∠CPE， ∠BAP=∠APE，

∵∠CPA=∠CPE+∠APE，

∴∠CPA=∠DCP+∠BAP；

②當(dāng)點(diǎn)P在BD延長線上時(shí)：∠CPA= ∠BAP-∠DCP，理由如下：

過P點(diǎn)作PE∥AB，

∵AB∥CD，PE∥AB，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠DCP=∠CPE，∠BAP=∠APE，

∵∠CPA= ∠APE-∠CPE。

∴∠CPA= ∠BAP-∠DCP.