Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，5），B（12，0），在y軸負(fù)半軸上取點(diǎn)E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直線CO交BA的延長線于點(diǎn)D．

（1）根據(jù)題意，可求得OE＝　 　；

（2）求證：△ADO≌△ECO；

（3）動點(diǎn)P從E出發(fā)沿E﹣O﹣B路線運(yùn)動速度為每秒1個(gè)單位，到B點(diǎn)處停止運(yùn)動；動點(diǎn)Q從B出發(fā)沿B﹣O﹣E運(yùn)動速度為每秒3個(gè)單位，到E點(diǎn)處停止運(yùn)動．二者同時(shí)開始運(yùn)動，都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)才能停止．在某時(shí)刻，作PM⊥CD于點(diǎn)M，QN⊥CD于點(diǎn)N．問兩動點(diǎn)運(yùn)動多長時(shí)間△OPM與△OQN全等？

Answer 1

【答案】（1）5；（2）見解析；（3）當(dāng)兩動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為、、10秒時(shí)，△OPM與△OQN全等

【解析】

（1）根據(jù)OA=OE即可解決問題．
（2）根據(jù)ASA證明三角形全等即可解決問題．
（2）設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，分三種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在y軸、x軸上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P、Q都在y軸上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸時(shí)若二者都沒有提前停止，當(dāng)點(diǎn)Q提前停止時(shí)；列方程即可得到結(jié)論．

（1）∵A（0，5），

∴OE＝OA＝5，

故答案為5．

（2）如圖1中，

∵OE＝OA，OB⊥AE，

∴BA＝BE，

∴∠BAO＝∠BEO，

∵∠CEF＝∠AEB，

∴∠CEF＝∠BAO，

∴∠CEO＝∠DAO，

在△ADO與△ECO中，

，

∴△ADO≌△ECO（ASA）．

（2）設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，當(dāng)PO＝QO時(shí)，易證△OPM≌△OQN．

分三種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在y軸、x軸上時(shí)PO＝QO得：

5﹣t＝12﹣3t，

解得t＝（秒），

②當(dāng)點(diǎn)P、Q都在y軸上時(shí)PO＝QO得：

5﹣t＝3t﹣12，

解得t＝（秒），

③當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，Q在y軸上時(shí)，

若二者都沒有提前停止，則PO＝QO得：

t﹣5＝3t﹣12，

解得t＝（秒）不合題意；

當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)E提前停止時(shí)，

有t﹣5＝5，解得t＝10（秒），

綜上所述：當(dāng)兩動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為、、10秒時(shí)，△OPM與△OQN全等．