Question

20．如圖，AB是半徑為R的⊙O內接正n邊形的邊長，則陰影部分的面積為（　�。�

• A． $\frac{π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R²sin$\frac{360°}{n}$
• B． $\frac{π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R²sin$\frac{180°}{n}$
• C． $\frac{2π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R²sin$\frac{360°}{n}$
• D． $\frac{2π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R²sin$\frac{180°}{n}$

Answer 1

分析 首先連接OA，OB，過點O作OC⊥AB于點C，由AB是半徑為R的⊙O內接正n邊形的邊長，利用三角形函數(shù)的性質，可求得△OAB的面積，繼而求得扇形OAB的面積，即可求得答案．

解答 解：連接OA，OB，過點O作OC⊥AB于點C，
則∠AOB=$\frac{360°}{n}$，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{180°}{n}$，
∴OC=OA•cos∠AOC=R•cos$\frac{180°}{n}$，AC=OC•sin∠AOC=R•sin$\frac{180°}{n}$，
∴AB=2AC=2Rsin$\frac{180°}{n}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×R•cos$\frac{180°}{n}$×2Rsin$\frac{180°}{n}$=$\frac{1}{2}$R²sin$\frac{360°}{n}$，
∵S_扇形OAB=$\frac{π{R}^{2}}{n}$，
∴S_陰影=$\frac{π{R}^{2}}{n}$-$\frac{1}{2}$R²sin$\frac{360°}{n}$．
故選A．

點評 此題考查了正多邊形與圓的知識以及三角函數(shù)等知識．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．