Question

如圖1，矩形ABCD的邊BC在x軸的正半軸上，點(diǎn)E（m，1）是對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)A、E在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上．
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，將反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象沿y軸翻折，得到反比例函數(shù)y=

k1

x

的圖象（如圖2），求k₁的值；
（3）直線y=-x上有一長為

2

動(dòng)線段MN，作MH、NP都平行y軸交在條件（2）下，第一象限內(nèi)的雙曲線y=

k

x

于點(diǎn)H、P，問四邊形MHPN能否為平行四邊形（如圖3）？若能，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，可證EF為△BCD的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理即可求出AB的長；
（2）當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，由（1）知，BC=AB=2．先用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A、E在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，列方程求出m的值，然后由軸對稱的性質(zhì)即可求出k₁的值；
（3）過點(diǎn)N作NG⊥HM于G，易求MG=NG=1．設(shè)M（a，-a），則可用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)N、P、H的坐標(biāo)，由MH=NP列出關(guān)于a的方程，求解即可．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，則EF=1．
∵點(diǎn)E是對角線BD的中點(diǎn)，
∴F為BC的中點(diǎn)，EF為△BCD的中位線，
∴CD=2EF=2．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2；

（2）由（1）知，AB=CD=2．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB=2，∴BF=FC=1．
∵E（m，1），
∴F（m，0），B（m-1，0），A（m-1，2），
∵點(diǎn)A、E在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴k=2（m-1）=m×1，
解得m=2，k=2，
∴點(diǎn)A、E在反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象上．
∵將反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象沿y軸翻折，得到反比例函數(shù)y=

k1

x

的圖象，
∴k₁=-2；

（3）四邊形MHPN能為平行四邊形．理由如下：
過點(diǎn)N作NG⊥HM于G，則∠MGN=90°．
∵點(diǎn)M、N在直線y=-x上，
∴∠MNG=45°，
∴MG=NG，
又∵M(jìn)N=

2

，
∴MG=NG=1．
設(shè)M（a，-a），則N（a+1，-a-1）．
∵M(jìn)H、NP都平行y軸，且點(diǎn)H、P都在雙曲線y=

2

x

的圖象上，
∴H（a，

2

a

），P（a+1，

2

a+1

）．
∵M(jìn)H∥NP，
∴當(dāng)MH=NP時(shí)，四邊形MHPN為平行四邊形，
此時(shí)

2

a

+a=

2

a+1

+a+1，
整理得a²+a-2=0，解得a=1，a=-2（舍去）．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1）．
故四邊形MHPN能為平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1）．

點(diǎn)評：考查了反比例函數(shù)綜合題，其中有三角形的中位線定理，矩形和正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)和正比例函數(shù)，平行四邊形的判定，解方程，有一定的難度．