Question

已知：矩形ABCD的面積為12，邊AB與BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-（m-5）x+m=0的兩個(gè)根．
（1）分別求出邊AB和BC的長(zhǎng)度；
（2）以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線AD于點(diǎn)E，求四邊形ABCE的面積．

Answer 1

分析：（1）由于邊AB與BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-（m-5）x+m=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到AB+BC=m-5，AB•BC=m，而矩形ABCD的面積為12，由此即可求出m，接著就可以求出邊AB和BC的長(zhǎng)度；
（2）由于AE∥BC，AE≠BC可以得到四邊形ABCE是梯形．根據(jù)（1）有兩種情況：當(dāng)AB=3，BC=4；當(dāng)AB=4，BC=3時(shí)．然后利用梯形的面積公式即可求解．

解答：解：（1）∵邊AB與BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-（m-5）x+m=0的兩個(gè)根，
∴AB+BC=m-5，AB•BC=m，
又∵AB•BC=12，
∴m=12，
∴AB=3，BC=4，或AB=4，BC=3；

（2）∵AE∥BC，AE≠BC，
∴AB與CE不平行，即四邊形ABCE是梯形．
當(dāng)AB=3，BC=4時(shí)，S=

1

2

(3+4)×3=

21

2

，
當(dāng)AB=4，BC=3時(shí)，S=

1

2

(3+4)×4=14，
綜上所述，四邊形ABCE的面積為

21

2

或14．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、矩形的性質(zhì)及梯形的面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)的關(guān)系及矩形的面積公式求出m解決問(wèn)題．