Question

【題目】已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝10，且cosA＝. M為線段AB的中點(diǎn)， 作DM⊥AB交AC于D. 點(diǎn)Q在線段AC上，點(diǎn)P在線段BC上，以PQ為直徑的圓始終過(guò)點(diǎn)M， 且PQ交線段DM于點(diǎn)E.

⑴ 試說(shuō)明△AMQ∽△PME；

⑵ 當(dāng)△PME是等腰三角形時(shí)，求出線段AQ的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）5或

【解析】(1) 連接MC ,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到MC=MA=AB，由同弧所對(duì)的圓周角相等推出∠A=∠EPM ,再利用同角的余角相等，即可求解; (2)分三種情況討論：當(dāng)AM=AQ時(shí); 當(dāng)QA=QM時(shí)； 當(dāng)MQ=AM時(shí).

⑴ 連接MC,

∵∠C=90°,M是AB中點(diǎn)， ∴MC=MA=,

∴∠A=∠MCA,

∵∠MCA=∠EPM， ∴∠A=∠EPM.

∵PQ為直徑 ,

∴∠PMQ=90°.

∴∠PME+∠QME =90°.

∵DM⊥AB,

∴∠AMD=90°.∴∠AMQ +∠QME =90°.

∴∠AMQ=∠PME，

∴△AMQ∽△PME

⑵AB=10，M為線段AB的中點(diǎn)，∴AM=5，AD===

當(dāng)△AMQ等腰三角形時(shí)，△MPE也是等腰三角形.

當(dāng)AM=AQ時(shí)，AQ=5;

當(dāng)QA=QM時(shí)，AQ=；

由題意MQ≠.

綜上所述,當(dāng)△MPE是等腰三角形時(shí)，線段AQ長(zhǎng)為或.