Question

（2012•襄陽）如圖，PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，直線PO交⊙于點(diǎn)E、F，過點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)A，延長(zhǎng)AO與⊙O交于點(diǎn)C，連接BC，AF．
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）試探究線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（3）若BC=6，tan∠F=

1

2

，求cos∠ACB的值和線段PE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OB，根據(jù)垂徑定理的知識(shí)，得出OA=OB，∠POA=∠POB，繼而證明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合切線的判定定理即可得出結(jié)論．
（2）先證明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性質(zhì)得出OA與OD、OP的關(guān)系，然后將EF=20A代入關(guān)系式即可．
（3）根據(jù)題意可確定OD是△ABC的中位線，設(shè)AD=x，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，繼而能求出cos∠ACB，再由（2）可得
OA²=OD•OP，代入數(shù)據(jù)即可得出PE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接OB，
∵PB是⊙O的切線，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB，
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，
∴直線PA為⊙O的切線．

（2）EF²=4OD•OP．
證明：∵∠PAO=∠PDA=90°
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，
∴∠OAD=∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴

OD

OA

=

OA

OP

，即OA²=OD•OP，
又∵EF=2OA，
∴EF²=4OD•OP．

（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=

1

2

BC=3（三角形中位線定理），
設(shè)AD=x，
∵tan∠F=

1

2

，
∴FD=2x，OA=OF=2x-3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x-3）²=x²+3²，
解之得，x₁=4，x₂=0（不合題意，舍去），
∴AD=4，OA=2x-3=5，
∵AC是⊙O直徑，
∴∠ABC=90°，
又∵AC=2OA=10，BC=6，
∴cos∠ACB=

6

10

=

3

5

．
∵OA²=OD•OP，
∴3（PE+5）=25，
∴PE=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合考查的知識(shí)點(diǎn)較多，關(guān)鍵是熟練掌握一些基本性質(zhì)和定理，在解答綜合題目是能靈活運(yùn)用．