Question

如圖，在平面直角坐標系中，M為x軸正半軸上的一點，⊙M與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，若A（-1，0），C點的坐標為．

（1）求M點的坐標；
（2）如圖，P為上的一個動點，CQ平分∠PCD．當P點運動時，線段AQ的長度是否改變？若不變，請求其值；若改變，請求出其變化范圍；

（3）如圖，以A為圓心AC為半徑作⊙A，P為⊙A上不同于C、D的一個動點，直線PC交⊙M于點Q，K為PQ的中點，當P點運動時，現給出兩個結論：①的值不變；②線段OK的長度不變．其中有且只有一個結論正確，選擇正確的結論證明并求其值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，連接MC，在Rt△COM中，運用勾股定理可將⊙M的半徑求出，已知點A的坐標，進而可將圓心M的坐標求出；
（2）作輔助線，連接AC，根據圓周角推論，等弧所對的圓周角相等，可得：∠ACD=∠P，又CQ平分∠OCP，可得：∠PCQ=∠OCQ，故：∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P，即∠ACQ=∠AQC，所以AQ=AC=2為定值；
（3）線段OK的長度不變，作輔助線，連接PD、QD、KD，可得：⊙A、⊙M為等圓，=，∠DPQ=∠DQP，△DPQ為等腰三角形，又K為PQ的中點，可得：DK⊥PQ，故在Rt△DKC中，OK為斜邊的中線．
解答：解：（1）連接MC，設⊙M的半徑為R
∵A（-1，0），C（0，），OC²+OM²=MC²
∴
解得R=2．
∴M點的坐標為（1，0）．

（2）AQ不變，AQ=AC=2．
連接AC，∵∠ACD=∠P
又∵CQ平分∠OCP
∴∠PCQ=∠OCQ
∴∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P
即：∠ACQ=∠AQC
∴AQ=AC=2．

（3）OK不變，OK=．
連接PD、QD、KD，
∵AC==2
∴⊙A的半徑為2
∵⊙A的半徑為2，⊙M的半徑為2
∴⊙A、⊙M為等圓
∴
∴∠DPQ=∠DQP
∴DQ=DP
∵K為PQ的中點
∴DK⊥PQ
∵OC=OD
∴=OC=．
點評：本題考查垂徑定理的應用．解此類問題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構建在一個直角三角形里，運用勾股定理求解．