Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，記與的函數(shù)（≠0，n≠0）的圖象為圖形G, 已知圖形G與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最�。ɑ蜃畲螅┲�n, 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(, )，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)分別為C、D，若A、B、C、D中任何三點(diǎn)都不在一直線上，且對角線AC，BD的交點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，則稱四邊形ABCD為圖形G的伴隨四邊形，直線AB為圖形G的伴隨直線.

（1）如圖，若函數(shù)的圖象記為圖形G，求圖形G的伴隨直線的表達(dá)式；

（2）如圖，若圖形G的伴隨直線的表達(dá)式是，且伴隨四邊形的面積為12，求與的函數(shù)（m＞0，n ＜0）的表達(dá)式；

（3）如圖，若圖形G的伴隨直線是，且伴隨四邊形ABCD是矩形，求點(diǎn)B的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先利用拋物線解析式確定A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求伴隨直線的解析式；

（2）如圖2，作BE⊥AC于點(diǎn)E，利用一次函數(shù)解析式和關(guān)于原點(diǎn)對稱的坐標(biāo)特征得到A（0，-3）和C（0，3），再利用平行四邊形ABCD的面積為12可求出BE=2，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則利用頂點(diǎn)B在直線上得到頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，-1），則設(shè)頂點(diǎn)式y=a（x-2）2-1，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式；

（3）如圖，作軸于點(diǎn),由在直線上，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），在Rt△OEB中，由勾股定理求出m的值，從而可求出點(diǎn)B的坐標(biāo).

（1）由題意得，

設(shè)所求伴隨直線的表達(dá)式為，

則

解，得

所以函數(shù)y=（x-2）2+1的伴隨直線的表達(dá)式是；

（2）如圖，作BE⊥AC于點(diǎn)E,

由題意知，

OC=OA，OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∵，，

∴，

∵平行四邊形ABCD的面積為12，

∴，

即,

∴ ，

∵＞0，即頂點(diǎn)B在軸的右側(cè)，且在直線上，

∴，

又圖形G經(jīng)過點(diǎn),

設(shè)頂點(diǎn)式y=a（x-2）2-1，

∴4a=-2，

，

；

（3）如圖，作軸于點(diǎn),

由已知得：，，

∵在直線上，

∴，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），

∵矩形，

∴= 4，

∴，

在Rt△OEB中

，

∴，

∴（不合題意，舍去），，

∴ ，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.