Question

【題目】【題目】如圖①，一次函數(shù) y＝ x - 2 的圖像交 x 軸于點(diǎn) A，交 y 軸于點(diǎn) B，二次函數(shù) y＝ x2 bx c的圖像經(jīng)過 A、B 兩點(diǎn)，與 x 軸交于另一點(diǎn) C．

（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式及點(diǎn) C 的坐標(biāo)；

（2）如圖②，若點(diǎn) P 是直線 AB 上方的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 PD∥x 軸交 AB 于點(diǎn) D，PE∥y 軸交 AB 于點(diǎn) E，求 PD＋PE 的最大值；

（3）如圖③，若點(diǎn) M 在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠AMB＝∠ACB，求出所有滿足條件的點(diǎn) M的坐標(biāo)．

① ② ③

Answer 1

【答案】(1) y＝ , C（1，0）;(2)6;(3) M的坐標(biāo)為（， ）或（， ）.

【解析】試題分析：（1）先求出A、B的坐標(biāo)，然后把A、B的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)的解析式，解方程組即可得到結(jié)論；

（2）先證明△PDE∽△OAB，得到PD＝2PE．設(shè)P（m， ），則E（m， ），PD＋PE＝3PE，然后配方即可得到結(jié)論．

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在在直線AB上方時(shí)，則點(diǎn)M在△ABC的外接圓上，如圖1．求出圓心O1的坐標(biāo)和半徑，利用MO1=半徑即可得到結(jié)論．

②當(dāng)點(diǎn)M在在直線AB下方時(shí)，作O1關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)O2，如圖2．求出點(diǎn)O2的坐標(biāo)，算出DM的長(zhǎng)，即可得到結(jié)論．

試題解析：解：（1）令y＝＝0，得：x＝4，∴A（4，0）．

令x＝0，得：y＝－2，∴B（0，－2）．

∵二次函數(shù)y＝的圖像經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，∴，解得： ，

∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝．

令y＝＝0，解得：x＝1或x＝4，∴C（1，0）．

（2）∵PD∥x軸，PE∥y軸，∴∠PDE＝∠OAB，∠PED＝∠OBA，∴△PDE∽△OAB．∴＝＝＝2，∴PD＝2PE．設(shè)P（m， ），則E（m， ）．

∴PD＋PE＝3PE＝3×[()－()]＝＝．

∵0＜m＜4，∴當(dāng)m＝2時(shí)，PD＋PE有最大值6．

（3）①當(dāng)點(diǎn)M在在直線AB上方時(shí)，則點(diǎn)M在△ABC的外接圓上，如圖1．

∵△ABC的外接圓O1的圓心在對(duì)稱軸上，設(shè)圓心O1的坐標(biāo)為（，－t）．

∴＝，解得：t＝2，∴圓心O1的坐標(biāo)為（，－2），∴半徑為．

設(shè)M（，y）．∵MO1=，∴，解得：y=，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）．

②當(dāng)點(diǎn)M在在直線AB下方時(shí)，作O1關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)O2，如圖2．

∵AO1＝O1B＝，∴∠O1AB＝∠O1BA．∵O1B∥x軸，∴∠O1BA＝∠OAB，∴∠O1AB＝∠OAB，O2在x軸上，∴點(diǎn)O2的坐標(biāo)為 （，0），∴O2D＝1，∴DM＝＝，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（， ）．

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（， ）或（， ）．