Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)E，F分別為AB，AD邊上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將△AEF沿直線EF對折，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G．

（1）如圖2，當(dāng)EF∥BD，且點(diǎn)G落在對角線BD上時(shí)，求DG的長；

（2）如圖3，連接DG，當(dāng)EF∥BD且△DFG是直角三角形時(shí)，求AE的值；

（3）當(dāng)AE＝2AF時(shí)，FG的延長線交△BCD的邊于點(diǎn)H，是否存在一點(diǎn)H，使得以E，H，G為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似，若存在，請求出AE的值；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）AE＝或；（3）存在，滿足條件的AE的值為3或或或

【解析】

（1）連接AG，如圖2所示，首先證明AG⊥BD，解直角三角形即可解決問題；

（2）分兩種情形：①當(dāng)∠DGF＝90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D，G，E三點(diǎn)共線，②當(dāng)∠GDF＝90°時(shí)，點(diǎn)G在DC上，過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，則四邊形ADHE是矩形，分別求解即可；

（3）分四種情形：①當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí)，如圖4﹣1，過點(diǎn)H作HP⊥AB于P；②當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí)，如圖4﹣2，過點(diǎn)H作HP⊥AB于P；③當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí)，如圖4﹣3，過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥MN于N；④當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí)，如圖4﹣4，過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥MN于N，過點(diǎn)H作HQ⊥AD于Q，分別求解即可．

解：（1）連接AG，如圖2所示，

由折疊得：AG⊥EF，

∵EF∥BD，

∴AG⊥BD，

在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，

∴∠DAB＝90°，AD＝BC＝6，

∴DB＝＝＝10，

∴cos∠ADB＝＝＝，

∴DG＝ADcos∠ADB＝6×＝；

（2）①當(dāng)∠DGF＝90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D，G，E三點(diǎn)共線，

設(shè)AF＝3t，則FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，

在Rt△DFG中，DG2+FG2＝DF2，即DG2＝（6﹣3t）2﹣（3t）2＝36﹣36t，

∵tan∠FDG＝＝，

∴，

解得t＝，

∴AE＝；

②當(dāng)∠GDF＝90°時(shí)，點(diǎn)G在DC上，過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，則四邊形ADHE是矩形，EH＝AD＝6．

設(shè)AF＝3t，則FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，

∵∠FDG＝∠FGE＝∠EHG＝90°，

∴∠DGF+∠DFG＝90°，∠DGF+∠EGH＝90°，

∴∠DFG＝∠EGH，

∴△GDF∽△EHG，

∴，

∴，

∴DG＝，GH＝8﹣4k，

∵DG+GH＝AE，

∴+8﹣4k＝4k，

∴k＝，

∴AE＝，

綜上所述：AE＝或；

（3）①當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí)，如圖4﹣1，過點(diǎn)H作HP⊥AB于P，

∵∠AEF＝∠FEG＝∠EHG，∠EHG+∠HEG＝90°，

∴△FEG+∠HEG＝90°，

∴∠A＝∠FEH＝90°，

∴△AEF∽△EHF，

∴EF：HE＝AF：AE＝1：2，

∵∠A＝∠HPE＝90°，

∴∠AEF+∠HEP＝90°，∠HEP+∠EHP＝90°，

∴∠AEF＝∠EHP，

∴△AEF∽△HPE，

∴EA：HP＝EF：EH＝1：2，

∵HP＝6，

∴AE＝3；

②當(dāng)△AEF∽△GHE時(shí)，如圖4﹣2，過點(diǎn)H作HP⊥AB于P，

同法可得EF：HE＝1：2，EA：HP＝1：2，

設(shè)AF＝t，則AE＝2t，EP＝2t，HP＝4t，

∴BP＝8﹣4t，

∵△BHP∽△BDA，

∴4t：6＝（8﹣4t）：8，

解得：t＝，AE＝；

③當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí)，如圖4﹣3，過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥MN于N．

設(shè)AF＝t，則AE＝2t，DF＝6﹣t，

由翻折可知：△AEF≌△GEF，AE＝GE，

∵△AEF∽△GEH，AE＝GE，

∴△AEF≌△GEH（AAS或ASA），

∴FG＝GH，

∵MG∥DH，

∴FM＝（6﹣t），

∴AM＝EN＝AF+FM＝，

又∵△FMG∽△GNE，且GF：GE＝1：2，

∵MG＝NE＝AM＝，GN＝2FN＝6﹣t，

∵MN＝AE，

∴+6﹣t＝2t，

解得t＝，

∴AE＝；

④當(dāng)△AEF∽△GEH時(shí)，如圖4﹣4，過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥MN于N，過點(diǎn)H作HQ⊥AD于Q，設(shè)AF＝t，則AE＝2t，

設(shè)FM＝a，

∴NG＝2a，NE＝a+t，

∴MG＝EN＝AM＝，

∴+2a＝2t①，

由上題可知：MF＝MQ＝a，QH＝2MG＝a+t，

∴DQ＝6﹣t﹣2a，

∵，

∴②，

解得t＝，

∴AE＝，

綜上所述，滿足條件的AE的值為3或或或．