Question

已知：如圖，A（0，1）是y軸上一定點，B是x軸上一動點，以AB為邊，在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB ，過B作BC⊥AB，交AE于點C。
（1）當B點的橫坐標為時，求線段AC的長；?
（2）當點B在x軸上運動時，設(shè)點C的縱、橫坐標分別為y、x，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式（當點B運動到O點時，點C也與O點重合）；?
（3）設(shè)過點P（0，-1）的直線l與（2）中所求函數(shù)的圖象有兩個公共點M₁（x₁，y₁）、M₂（x₂，y₂），且x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=8，求直線l的解析式。

Answer 1

解：（1）在Rt△AOB中，可求得AB=， ∵∠OAB=∠BAC，∠AOB=∠ABC=Rt∠ ， ∴△ABO∽△ABC， ∴， 由此可求得：AC=； （2）當B不與O重合時，延長CB交y軸于點D，過C作CH⊥x軸，交x軸于點H，則可證得AC=AD， ∵AO⊥OB，AB⊥BD， ∴△ABO∽△BDO，則OB2=AO×OD----6′， 即，化簡得：y=， 當O、B、C三點重合時，y=x=0， ∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-； （3）設(shè)直線的解析式為y=kx+b，則由題意可得：， 消去y得：x2-4kx-4b=0，則有， 由題設(shè)知：x12+x22-6（x1+x2）=8，即（4k）2+8b-24k=8，且b=-1，則16k2-24k-16=0， 解之得：k1=2，k2=， 當k1=2、b=-1時，△=16k2+16b=64-16>0，符合題意； 當k2=，b=-1時，△=16k2+16b=4-16<0，不合題意（舍去）， ∴所求的直線l的解析式為：y=2x-1。