Question

【題目】綜合與實(shí)踐

問題情境

在中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，且交直線于點(diǎn).

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：.

自主探究

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，其它條件不變,請猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

拓展延伸

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，其它條件不變,請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；證明見解析；(3).

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ABC，根據(jù)同角的余角相等得到∠CBG=∠ACE，根據(jù)ASA公理證明△ACE≌△CBG；
（2）同理即可證明△ACE≌△CBG；
（3）CG=AE.

解：（1）在Rt△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴∠BCG=∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
在△ACE和△CBG中，

,

∴△ACE≌△CBG；
（2）結(jié)論仍然成立，即△ACE≌△CBG．
理由如下：在Rt△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴∠BCG=∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
∴△ACE≌△CBG；

（3）CG=AE.