Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處，點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，有下列結(jié)論：①∠EBG＝45°；②S△ABG＝S△FGH；③△DEF∽△ABG；④AG+DF＝FG．其中正確的是_____．（把所有正確結(jié)論的序號都選上）

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

利用折疊性質(zhì)得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，則可得到∠EBG=∠ABC，于是可對①進行判斷；在Rt△ABF中利用勾股定理計算出AF=8，則DF=AD-AF=2，設(shè)AG=x，則GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可對②④進行判斷；接著證明△ABF∽△DFE，利用相似比得到，而，所以，所以△DEF與△ABG不相似，于是可對③進行判斷.

解：∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，

將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，

∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，

∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°，所以①正確；

在Rt△ABF中，AF＝＝＝8，

∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，

設(shè)AG＝x，則GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，

在Rt△GFH中，

∵GH2+HF2＝GF2，

∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，

∴GF＝5，

∴AG+DF＝FG＝5，所以④正確；

∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處，

∴∠BFE＝∠C＝90°，

∴∠EFD+∠AFB＝90°，

而∠AFB+∠ABF＝90°，

∴∠ABF＝∠EFD，

∴△ABF∽△DFE，

∴＝，

∴＝＝＝，

而＝＝2，

∴≠，

∴△DEF與△ABG不相似；所以③錯誤．

∵S△ABG＝×6×3＝9，S△GHF＝×3×4＝6，

∴S△ABG＝S△FGH，所以②正確．

故答案是：①②④．