Question

如圖，⊙O的半徑為5cm， AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

   (1)求證：PC是⊙O的切線；（4分）

(2)求線段BC的長度.（4分）

 

Answer 1

 

（1）證明略

（2）5cm

解析:(1)證明：在⊙O中，∠COB=2∠CAB，OA=OC

        ∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠COB=2∠ACO    ————1分

        又∵∠COB=2∠PCB，∴∠PCB=∠ACO

        ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，

        即∠ACO+∠OCB＝90°

        ∴∠PCB+∠OCB＝90°，即∠OCP＝90°       ————2分

        ∴OC⊥CP

        ∴PC是⊙O的切線                         ————1分

(2)解：∵⊙O的半徑為5cm， AB是⊙O的直徑，∴AB＝10cm， ——1分

      ∵AC=PC，∴∠A＝∠P，

      ∵∠COB＝2∠A，∴∠COB＝2∠P

      又∵∠OCP＝90°，∴∠COB+∠P＝90°，

       ∴∠P＝30°，

∴∠A＝30°，                          —————2分

又∵∠ACB=90°，

∴CB＝AB＝5cm.              —————1分