Question

已知∠AOB與∠COD互余（∠COD的兩邊不在∠AOB的內(nèi)部），OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，將∠COD繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠BOC=α（0°≤α＜180°）．
（1）若∠AOB=60°，∠COD=30°．
①當(dāng)α=0°時(shí)，即OB與OC重合時(shí)，如圖1，則∠MON=

45°

．
②當(dāng)α=90°時(shí)，即OA與OD在一條直線上，如圖2，求∠MON的度數(shù)．
③當(dāng)α=140°時(shí)，請補(bǔ)全圖形（如圖3），并求出∠MON的度數(shù)．
（2）若∠AOB=β，∠COD=γ（β＞γ），則∠MON=

45°或135°

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)角平分線的定義得出∠MOB=

1

2

∠AOB，∠BON=

1

2

∠BOD，再根據(jù)∠MON=∠MOB+∠BON即可求解；
（2）由特殊到一般可求∠MON的度數(shù)即可．

解答：解：（1）①∠MON=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD=45°．
②當(dāng)α=90°時(shí)，
∠MON=180°-（

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD）
=180°-[

1

2

（∠AOB+∠BOC）+

1

2

（∠COD+∠BOC）]
=180°-[

1

2

（60°+90°）+

1

2

（30°+90°）]
=45°．
③當(dāng)α=140°時(shí)，
∵∠AOD=360°-60°-30°-140°=130°，
∴∠MON=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD-∠COD
=

1

2

（∠AOD+∠DOC）+

1

2

（∠BOC+∠COD）-∠COD
=

1

2

（∠AOD+∠BOC）
=

1

2

（360°-90°）
=135°；

（2）當(dāng)∠AOB=β，∠COD=γ（β＞γ）時(shí)，∠AOB與∠COD互余，則β+γ=90°，
當(dāng)如圖1所示：∠MON=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD=

1

2

（β+γ）=45°，
如圖3所示：
∠MON=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD-∠COD
=

1

2

（∠AOD+∠DOC）+

1

2

（∠BOC+∠COD）-∠COD
=

1

2

（∠AOD+∠BOC）
=

1

2

（360°-∠AOB-∠COD）
=

1

2

（360°-90°）
=135°，
則∠MON=135°或45°．
故答案為：135°或45°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對角度關(guān)系及運(yùn)算的靈活運(yùn)用和掌握．此類題目的練習(xí)有利于學(xué)生更好的對角的理解．