Question

【題目】在一次“構造勾股數”的探究性學習中，老師給出了下表：

m	2	3	3	4	…
n	1	1	2	3	…
a	22+12	32+12	32+22	42+32	…
b	4	6	12	24	…
c	22﹣12	32﹣12	32﹣22	42﹣32	…

其中m、n為正整數，且m＞n．

（1）觀察表格，當m=2，n=1時，此時對應的a、b、c的值能否為直角三角形三邊的長？說明你的理由．

（2）探究a，b，c與m、n之間的關系并用含m、n的代數式表示：a= ，b= ，c= ．

（3）以a，b，c為邊長的三角形是否一定為直角三角形？如果是，請說明理由；如果不是，請舉出反例．

Answer 1

【答案】（1）a、b、c的值能為直角三角形三邊的長；（2）a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；（3）以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形．

【解析】

試題分析：（1）計算出a、b、c的值，根據勾股定理的逆定理判斷即可；

（2）根據給出的數據總結即可；

（3）分別計算出a2、b2、c2，根據勾股定理的逆定理進行判斷．

解：（1）當m=2，n=1時，a=5、b=4、c=3，

∵32+42=52，

∴a、b、c的值能為直角三角形三邊的長；

（2）觀察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；

（3）以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形，

∵a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4，

b2+c2=m4﹣2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，

∴a2=b2+c2，

∴以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形．