Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+3x+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D在拋物線上且橫坐標為3．

（1）求A、B、C、D的坐標；
（2）求∠BCD的度數(shù)；
（3）求tan∠DBC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0，則﹣x2+3x+4=0，

即（x+1）（x﹣4）=0．

解得：x1=﹣1，x2=4．

所以A（﹣1，0），B（4，0），

令x=0，得y=4，所以C（0，4），

當x=3時，y=﹣32+3×3+4=4，

所以D（3，4）。

（2）解：∵OC=OB=4，

∴∠ABC=45°，

∵C、D的縱坐標相同，

∴CD∥AB．

又∵OC=OB，

∴∠BCD=∠OBC=45°

（3）解：過點D作DE⊥BC于點E，

在Rt△OBC中，得BC=4 ，

在Rt△CDE中，∵CD=3，

∴CE=ED= ，

∴BE=BC﹣CE= ，

∴tan∠DBC= = ．

【解析】（1）將y=0和x=0，x=3分別代入函數(shù)解析式，求出對應的自變量的值和對應的函數(shù)值，即可求出A、B、C、D的坐標。
（2）根據(jù)點B的橫坐標和點C的縱坐標相等，即可證出△OBC是等腰直角三角形，得出∠ABC=45°，再觀察點C、點D的縱坐標相等得出CD∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出結(jié)果。
（3）添加輔助線將∠DBC轉(zhuǎn)化到直角三角形中，因此過點D作DE⊥BC于點E，先根據(jù)點C和點D的坐標求出CD的長，在Rt△OBC中和在Rt△CDE中分別求出BC、DE的長，就可以求出BE的長，從而求得結(jié)果。
【考點精析】掌握拋物線與坐標軸的交點和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．