Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣3）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式和∠ABC的度數(shù)；

（3）P為線段BC上一點(diǎn)，連接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）45°；（3）P（，﹣）．

【解析】試題分析：（1）直接將A，C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式求出即可；

（2）首先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，進(jìn)而利用CO，BO的長求出∠ABC的度數(shù)；

（3）利用∠ACB=∠PAB，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出BP的長，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，﹣3）代入拋物線解析式得：

，

解得：，

故拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，

解得：x1=﹣1，x2=3，故B點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0），

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+d，

則，

解得：，

故直線BC的解析式為：y=x﹣3，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴BO=OC=3，

∴∠ABC=45°；

（3）過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，

∴△ABP∽△CBA，

∴=，

∵BO=OC=3，

∴BC=3，

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=4，

∴=，

解得：BP=，

由題意可得：PD∥OC，

∴DB=DP=，

∴OD=3﹣=，

則P（，﹣）．