Question

如圖1，P（m，n）是拋物線上任意一點(diǎn)， l是過點(diǎn)（0，）且與x軸平行的直線，過點(diǎn)P作直線PH⊥l，垂足為H．

【探究】

（1）填空：當(dāng)m＝0時(shí)，OP＝     ，PH＝     ；當(dāng)m＝4時(shí)，OP＝     ，PH＝     ；

【證明】

（2）對任意m，n，猜想OP 與PH的大小關(guān)系，并證明你的猜想．

【應(yīng)用】

（3）如圖2，已知線段AB=6，端點(diǎn)A，B在拋物線上滑動，求A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值．

 

Answer 1

（1）填空：當(dāng)m＝0時(shí)，OP＝  1  ，PH＝  1  ；當(dāng)m＝4時(shí)，OP＝  5  ，PH＝  5  ；

（2）OP= PH  

證明：∵P（m，n）是拋物線上任意一點(diǎn)，∴．

      ∵，

        ，

∴，    ∴．  -

（3）分別A，B過點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為M，N．

①當(dāng)AB不過O點(diǎn)時(shí)，連接OA，OB，

在△OAB中OA+OB＞AB=6，

由上述結(jié)論得：AM=OA，BN=OB．

∴AM+ BN＞6．

            ②當(dāng)AB過O點(diǎn)時(shí)，AM+ BN= OA+OB=AB=6．

            所以AM+ BN的最小值為6．

即A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值為6．