Question

14．如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，過D作DE⊥BD交AB于點E，經(jīng)過B，D，E三點作⊙O．
（1）求證：AC與⊙O相切于D點；
（2）若AD=15，AE=9，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，則有∠1=∠2，而∠2=∠3，得到∠1=∠3，因此OD∥BC，又由于∠C=90°，所以O(shè)D⊥AD，即可得出結(jié)論．
（2）根據(jù)OD⊥AD，則在RT△OAD中，OA²=OD²+AD²，設(shè)半徑為r，AD=15，AE=9，得到（r+9）²=15²+r²，解方程即可．

解答 （1）證明：連接OD，如圖所示：
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥BC，
而∠C=90°，
∴OD⊥AD，
∴AC與⊙O相切于D點；
（2）解：∵OD⊥AD，
∴在RT△OAD中，OA²=OD²+AD²，
又∵AD=15，AE=9，設(shè)半徑為r，
∴（r+9）²=15²+r²，
解方程得，r=8，
即⊙O的半徑為8．

點評 本題考查了圓的切線的判定方法、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握切線的判定方法，由勾股定理得出方程是解決問題（2）的關(guān)鍵．