Question

在一次課題學習中活動中，老師提出了如下一個問題：
點P是正方形ABCD內的一點，過點P畫直線l分別交正方形的兩邊于點M、N，使點P是線段MN的三等分點，這樣的直線能夠畫幾條？
經過思考，甲同學給出如下畫法：
如圖1，過點P畫PE⊥AB于E，在EB上取點M，使EM=2EA，畫直線MP交AD于N，則直線MN就是符合條件的直線l．
根據以上信息，解決下列問題：
（1）甲同學的畫法是否正確？請說明理由；
（2）在圖1中，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，請直接在圖1中畫出；
（3）如圖2，A₁，C₁分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點，且A₁C₁∥AD．當點P在線段A₁C₁上時，能否畫出符合題目條件的直線？如果能，可以畫出幾條？
（4）如圖3，正方形ABCD邊界上的A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂，D₁，D₂都是所在邊的三等分點．當點P在正方形ABCD內的不同位置時，試討論，符合題目條件的直線l的條數的情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用△MPE∽△MNA中的成比例線段可知EM=2EA，所以MP：MN=2：3，即點P是線段MN的一個三等分點；
（2）由（1）中的證明過程可知，在EB上取M₁，使EM₁=AE，直線M₁P就是滿足條件的直線，所以能畫出一條符合題目條件的直線；
（3）當點P在線段A₁C₁上，根據正方形的性質可知能夠畫出符合題目條件的直線有無數條；
（4）分情況討論．
解答：解：（1）甲同學的畫法正確；
∵PE∥AD，
∴△MPE∽△MNA，
∴，
∵EM=2EA，
∴MP：MN=2：3，
∴點P是線段MN的一個三等分點．

（2）能畫出一個符合題目條件的直線，在EB上取M₁，使EM₁=AE，直線M₁P就是滿足條件的直線，圖2；

（3）若點P在線段A₁C₁上，能夠畫出符合題目條件的直線無數條，圖3；

（4）若點P在A₁C₁，A₂C₂，B₁D₁，B₂D₂上時，可以畫出無數條符合條件的直線l；
當點P在正方形ABCD內部時，不存在這樣的直線l，使得點P是線段MN的三等分點；
當點P在矩形ABB₁D₁，CDD₂B₂，ADD₂D₁，BB₁B₂C內部時，過點P可畫出兩條符合條件的直線l，使得點P是線段MN的三等分點．
點評：主要考查了正方形的性質和復雜作圖的運用．掌握正方形的性質并具備綜合分析的能力是解題的關鍵．