Question

如圖在Rt△AOB中，∠BAO=90°，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B在x軸正半軸上，A在第一象限．OA和AB的長(zhǎng)是方程兩根，且OA＜AB．
（1）求直線AB的解析式；
（2）將△AOB沿垂直于x軸的線段CD折疊（點(diǎn)C在x軸上，且不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D在線段AB上），使點(diǎn)B落在x軸上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0）．
①是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△AED為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②設(shè)△CDE與△AOB重疊部分的面積為S，直接寫出S與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可直接求出OA、AB的長(zhǎng)，又∠BAO=90°，由勾股定理可求OB，作OB邊上的高AF，用面積法及勾股定理可求0F、AF，從而得出A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)“兩點(diǎn)法”求直線AB解析式．
（2）△AED按直角頂點(diǎn)分為兩類：①A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，此時(shí)E、O兩點(diǎn)重合，C點(diǎn)為OB的中點(diǎn)；②E點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于F，利用等腰三角形的性質(zhì)解題．
解答：解：（1）解方程得兩根為，
因?yàn)镺A和AB的長(zhǎng)是方程兩根，且OA＜AB
所以，
而∠BAO=90°，則
作AF⊥x軸于F，如圖
則
那么
∴A（1，2），B（5，0）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有，
解得．
∴直線AB的解析式為y=-x+．

（2）①存在．
分兩種情況討論：
�。┊�(dāng)Rt△AED以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E與原點(diǎn)O重合，如圖．
∵OC=BC=OB=
∴C₁（，0）；
ⅱ）當(dāng)Rt△AED以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于F．OF=1．
∵∠AED=90°，
∴∠AEO+∠DEC=90°．
∵∠DEC=∠DBC，
∴∠AEO+∠DBC=90°．
又∵∠AOE+∠DBC=90°，
∴∠AOE=∠AEO．
∴△AOE是等腰三角形，
∴OE=2OF=2，
∴BE=3．
∴EC=，
∴OC=OE+EC=2+=．
∴C₂（，0）．
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)C，使得△AED為直角三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：
C₁（，0）和C₂（，0）．
②當(dāng)1≤x＜時(shí)，△CDE與△AOB重疊部分的面積即為△CDE的面積，由直角三角形的面積公式即可求解；
S與x之間的函數(shù)關(guān)系式如下：
S=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，待定系數(shù)法求直線解析式，折疊問(wèn)題及分類討論的數(shù)學(xué)思想．