如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為,且經(jīng)過原點(diǎn)
,與
軸的另一個(gè)交點(diǎn)為
.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上,點(diǎn)
在拋物線上,且以
四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求
點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)連接,如圖2,在
軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)
,使得
與
相似?若存在,求出
點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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解:(1)由題意可設(shè)拋物線的解析式為.
拋物線過原點(diǎn),
.
.
拋物線的解析式為
,
即.
(2)如圖1,當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí),
.
由,得
,
,
,
.
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
.將
代入
,
得,
;
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,在對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn),使得四邊形
是平行四邊形,此時(shí)
點(diǎn)的坐標(biāo)為
.
當(dāng)四邊形
是平行四邊形時(shí),
點(diǎn)即為
點(diǎn),此時(shí)
點(diǎn)的坐標(biāo)為
.··· (8分)
(3)如圖2,由拋物線的對(duì)稱性可知:
,
.
若與
相似,
必須有.
設(shè)交拋物線的對(duì)稱軸于
點(diǎn),
顯然,
直線
的解析式為
.
由,得
,
.
.過
作
軸,
在中,
,
,
.
.
.
與
不相似,同理可說明在對(duì)稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的
點(diǎn).
所以在該拋物線上不存在點(diǎn),使得
與
相似.
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