Question

（2013•豐南區(qū)一模）如圖，將邊長為a的正六邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆在直線l上由圖1的位置按順時針方向向右作無滑動滾動，當A₁第一次滾動到圖2位置時，頂點A₁所經過的路徑的長為

4+2 3

3

πa

．

Answer 1

分析：連A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，利用正六邊形的性質分別計算出A₁A₄=2a，A₁A₅=A₁A₃=

3

a，而當A₁第一次滾動到圖2位置時，頂點A₁所經過的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，以a，

3

a，2a，

3

a，a為半徑，圓心角都為60°的五條弧，然后根據(jù)弧長公式進行計算即可．

解答：解：連A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，如圖，

∵六邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆為正六邊形，
∴A₁A₄=2a，∠A₁A₆A₅=120°，
∴∠CA₁A₆=30°，
∴A₆C=

1

2

a，A₁C=

3

2

a，
∴A₁A₅=A₁A₃=

3

a，
當A₁第一次滾動到圖2位置時，頂點A₁所經過的路徑分別是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂為圓心，
以a，

3

a，2a，

3

a，a為半徑，圓心角都為60°的五條弧，
∴頂點A₁所經過的路徑的長=

4+2 3

3

πa，
故答案為：

4+2 3

3

πa．

點評：本題考查了弧長公式：l=

nπr

180

，也考查了正六邊形的性質以及旋轉的性質，難度一般．