Question

如圖，有一塊直角三角形土地，它兩條直角邊AB=300米，AC=400米，某單位要沿著斜邊BC修一座底面是矩形DEFG的大樓，D、G分別在邊AB、AC上，設EF為x，矩形面積為y．
（1）求△ABC中BC上的高AH；
（2）求y與x之間的函數(shù)關系；
（3）當矩形的長x取何值時，這個矩形的面積最大？

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理列式求出斜邊BC的長，再根據三角形的面積列式進行計算即可得解；
（2）設DE為a，根據相似三角形對應高的比等于相似比列式用x表示出a，再根據矩形的面積列式整理即可；
（3）把y、x的函數(shù)關系式整理成頂點式解析式，再根據二次函數(shù)的最值問題解答即可．

解答：解：（1）∵AB=300米，AC=400米，
∴BC=

3002-4002

=500米，
∵AH是直角三角形的斜邊上的高，
∴AH=

300×400

500

=240米；

（2）設DE=a，∵△ADG∽△ABC，
∴

AH-a

AH

=

DG

BC

，
即

240-a

240

=

x

500

，
∴a=-

12

25

x+240，
∴y=x（-

12

25

x+240）=-

12

25

x²+240x；

（3）y=-

12

25

x²+240x=-

12

25

（x-250）²+3000，
∴當x=250時，y取得最大值為3000．

點評：本題考查了相似三角形的應用，主要利用了相似三角形對應高的比等于相似比，勾股定理的應用，二次函數(shù)的最值問題，（2）求出矩形的寬DE是解題的關鍵．