Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．
（1）用尺規(guī)作出OC、OB中點，分別為E、F（保留作圖痕跡，不寫作法與證明）；
（2）連接AE、DF，求證：AE=DF．

Answer 1

分析：（1）過O左AB、AC的平行線，交AB與J、交DC與K、交AD與H、交BC與G、從而在平行四邊形JOGB中連接JG，則JG與OB的交點即是點E的位置，在平行四邊形KOGC中連接JG則GK與OC的交點即是點F的位置．
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD，∠BAC=∠DCA，結(jié)合FC=

1

2

OC，EB=

1

2

OB，可利用SAS證明△ABE≌△CDF，從而可得出結(jié)論．

解答：（1）解：過O左AB、AC的平行線，交AB與J、交DC與K、交AD與H、交BC與G，連接JG，則JG與OB的交點即是點E的位置，JG則GK與OC的交點即是點F的位置，
所作圖形如下所示：

（2）證明：∵ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，OB=OC，
又FC=

1

2

OC，EB=

1

2

OB，
∴FC=EB，
在△ABE和△CDF中

AB=CD ∠DCF=∠BAE CF=BE

，
∴△ABE≌△DCF，故可得AE=DF．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)及復雜作圖的知識，綜合的知識點較多，有一定的難度，解答本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對角線互相平分且相等，另外在作圖時要注意按要求作，不要想當然．