Question

【題目】設平面內一點到等邊三角形中心的距離為d，等邊三角形的內切圓半徑為r，外接圓半徑為R．對于一個點與等邊三角形，給出如下定義：滿足r≤d≤R的點叫做等邊三角形的中心關聯(lián)點． 在平面直角坐標系xOy中，等邊△ABC的三個頂點的坐標分別為A（0，2），B（﹣ ，﹣1），C（ ，﹣1）．

（1）已知點D（2，2），E（ ，1），F(xiàn)（﹣ ，﹣1）．在D，E，F(xiàn)中，是等邊△ABC的中心關聯(lián)點的是；
（2）如圖1，過點A作直線交x軸正半軸于M，使∠AMO=30°． ①若線段AM上存在等邊△ABC的中心關聯(lián)點P（m，n），求m的取值范圍；
②將直線AM向下平移得到直線y=kx+b，當b滿足什么條件時，直線y=kx+b上總存在等邊△ABC的中心關聯(lián)點；（直接寫出答案，不需過程）
（3）如圖2，點Q為直線y=﹣1上一動點，⊙Q的半徑為 ．當Q從點（﹣4，﹣1）出發(fā)，以每秒1個單位的速度向右移動，運動時間為t秒．是否存在某一時刻t，使得⊙Q上所有點都是等邊△ABC的中心關聯(lián)點？如果存在，請直接寫出所有符合題意的t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）E、F
（2）①解：如圖1中，由題意A（0，2），M（ ，0）．

可求得直線AM的解析式為 ．

經(jīng)驗證E在直線AM上．

因為OE=OA=2，∠MAO=60°，

所以△OAE為等邊三角形，

所以AE邊上的高長為 ．

當點P在AE上時， ≤OP≤2．

所以當點P在AE上時，點P都是等邊△ABC的中心關聯(lián)點．

所以0≤m≤ ；

②如圖1﹣1中，設平移后的直線交y軸于G，作這條直線的垂線垂足為H．

當OH=2時，在Rt△OHG中，∵OH=2，∠HOG=30°，

∴cos30°= ，

∴OG= ，

∴滿足條件的b的值為﹣ ≤b≤2；

（3）存在．理由：如圖2中，設Q（m，﹣1）．

由題意當OQ= 時，⊙Q上所有點都是等邊△ABC的中心關聯(lián)點，

= ，

解得m= ，

∴t=

【解析】解：（1）由題意R=2，r=1，點O是△ABC的中心， ∵OD=2 ，OE=2，OF= ，
∴點E、F是△ABC的中心關聯(lián)點
故答案為E，F(xiàn)；
（1）根據(jù)中心關聯(lián)點，求出R、r、d即可判斷；（2）①由題意可知，點E在直線AM上，當點P在AE上時，點P都是等邊△ABC的中心關聯(lián)點；②如圖1﹣1中，設平移后的直線交y軸于G，作這條直線的垂線垂足為H．當OH=2時，求出OG即可判斷；（3）存在．理由：如圖2中，設Q（m，﹣1）．由題意當OQ= 時，⊙Q上所有點都是等邊△ABC的中心關聯(lián)點，理由兩點間距離公式即可求解．