Question

【題目】已知：如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心A的坐標(biāo)為（1，0），⊙A的半徑為，過點(diǎn)C作⊙A的切線交x軸于點(diǎn)B（-4，0）．

（1）求切線BC的解析式；

（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)⊙A上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙A的切線與直線BC相交于點(diǎn)G，且∠CGP＝120°，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）G（，+2 ）.

【解析】

（1）連接AC，由于BC與⊙A相切，則AC⊥BC，在Rt△ABC中，OC⊥AB，根據(jù)射影定理即可求得OC的長，從而得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式．

（2）可設(shè)出G點(diǎn)的坐標(biāo)（設(shè)橫坐標(biāo)，利用直線BC的解析式表示縱坐標(biāo)），連接AP、AG；由于GC、GP都是⊙A的切線，那么∠AGC=∠ABP=60°，在Rt△AGC中，AC的長易求得，根據(jù)∠AGC的度數(shù)，即可求得AG的長；過G作GH⊥x軸于H，在Rt△GAH中，可根據(jù)G點(diǎn)的坐標(biāo)表示出AH、GH的長，進(jìn)而由勾股定理求得G點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）如圖1所示，連接AC，則AC＝．

在Rt△AOC中，AC＝，OA＝1，則OC＝2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．

設(shè)切線BC的解析式為y＝kx+b，

它過點(diǎn)C（0，2），B（﹣4，0），

則有，

解之得，

∴；

（2）如圖1所示，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，c），

∵點(diǎn)G在直線y＝x+2上，

∴c＝a+2，

過點(diǎn)G作GH⊥x軸，垂足為H點(diǎn)，則OH＝a，GH＝c＝a+2，連接AP，AG．

∵AC＝AP，AG＝AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG （HL），

∴∠AGC＝×120°＝60°．

在Rt△ACG中，

∵∠AGC＝60°，AC＝，

∴sin60°＝，

∴AG＝．

在Rt△AGH中，AH＝OH﹣OA＝a﹣1，GH＝a+2，

∵AH2+GH2＝AG2，

∴（a﹣1）2+＝ ，

解之得：a1＝，a2＝﹣（舍去），

點(diǎn)G的坐標(biāo)為（， +2 ）．